2837 Fragen zu Quadratische Funktion

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, die in der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) dargestellt wird, wobei \( a \), \( b \) und \( c \) Konstanten sind und \( a \neq 0 \). Diese Funktion beschreibt eine Parabel, die nach oben oder unten geöffnet sein kann, abhängig vom Vorzeichen von \( a \). Eine quadratische Gleichung hingegen ist eine Gleichung, die die Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) hat. Das Ziel bei einer quadratischen Gleichung ist es, die Werte von \( x \) zu finden, die die Gleichung erfüllen. Die Lösungen dieser Gleichung können durch verschiedene Methoden wie Faktorisierung, die Mitternachtsformel oder quadratische Ergänzung gefunden werden. Zusammengefasst: Eine quadratische Funktion beschreibt eine Beziehung zwischen \( x \) und \( f(x) \), während eine quadratische Gleichung eine Bedingung angibt, die erfüllt werden muss.

Um die quadratische Funktion \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, nutzen wir die gegebenen Informationen. 1. **Schnittpunkt mit der y-Achse**: Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt \( (0|4) \). Das bedeutet, dass \( c = 4 \). 2. **Punkte P und Q**: Die Funktion verläuft durch die Punkte \( P(5|9) \) und \( Q(-1|-3) \). Das gibt uns zwei Gleichungen: - Für den Punkt \( P(5|9) \): \[ f(5) = a(5^2) + b(5) + 4 = 9 \] \[ 25a + 5b + 4 = 9 \quad \Rightarrow \quad 25a + 5b = 5 \quad \Rightarrow \quad 5a + b = 1 \quad \text{(Gleichung 1)} \] - Für den Punkt \( Q(-1|-3) \): \[ f(-1) = a(-1^2) + b(-1) + 4 = -3 \] \[ a - b + 4 = -3 \quad \Rightarrow \quad a - b = -7 \quad \text{(Gleichung 2)} \] 3. **Lösen des Gleichungssystems**: Wir haben nun zwei Gleichungen: - \( 5a + b = 1 \) (Gleichung 1) - \( a - b = -7 \) (Gleichung 2) Wir können Gleichung 2 nach \( b \) umstellen: \[ b = a + 7 \] Setze \( b \) in Gleichung 1 ein: \[ 5a + (a + 7) = 1 \] \[ 6a + 7 = 1 \quad \Rightarrow \quad 6a = -6 \quad \Rightarrow \quad a = -1 \] Setze \( a \) zurück in die Gleichung für \( b \): \[ b = -1 + 7 = 6 \] 4. **Funktion aufstellen**: Jetzt haben wir die Werte für \( a \), \( b \) und \( c \): \[ a = -1, \quad b = 6, \quad c = 4 \] Die gesuchte quadratische Funktion ist: \[ f(x) = -x^2 + 6x + 4 \]

Um die Lösungsmenge einer quadratischen Funktion zu berechnen, folge diesen Schritten: 1. **Form der Funktion**: Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \), wobei \( a \), \( b \) und \( c \) Konstanten sind und \( a \neq 0 \). 2. **Bestimmung der Diskriminante**: Berechne die Diskriminante \( D \) mit der Formel: \[ D = b^2 - 4ac \] 3. **Analyse der Diskriminante**: - **Wenn \( D > 0 \)**: Es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen. Diese können mit der Mitternachtsformel (Quadratische Formel) berechnet werden: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] - **Wenn \( D = 0 \)**: Es gibt eine doppelte reelle Lösung. Diese wird ebenfalls mit der Mitternachtsformel berechnet: \[ x = \frac{-b}{2a} \] - **Wenn \( D < 0 \)**: Es gibt keine reellen Lösungen, sondern zwei komplexe Lösungen. Diese können ebenfalls mit der Mitternachtsformel gefunden werden, wobei die Wurzel von \( D \) imaginär ist: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-D}}{2a} \] 4. **Lösungsmenge**: Die Lösungsmenge wird dann in der Form \( \{ x_1, x_2 \} \) oder \( \{ x \} \) (bei doppelter Lösung) oder als leerer Raum \( \emptyset \) (bei keinen reellen Lösungen) angegeben. Durch diese Schritte kannst du die Lösungsmenge einer quadratischen Funktion bestimmen.

Um die quadratische Funktion \( y = 2x^2 - 3 \) zu zeichnen und eine Wertetabelle zu erstellen, gehen wir wie folgt vor: ### Wertetabelle Wir wählen einige Werte für \( x \) und berechnen die entsprechenden \( y \)-Werte: | \( x \) | \( y = 2x^2 - 3 \) | |---------|---------------------| | -3 | \( 2(-3)^2 - 3 = 18 - 3 = 15 \) | | -2 | \( 2(-2)^2 - 3 = 8 - 3 = 5 \) | -1 | \( 2(-1)^2 - 3 =2 - 3 = -1 \) | | 0 | \( 2(0)^2 - 3 = 0 - 3 = -3 \) | | 1 | \( 2(1)^2 - 3 = 2 - 3 = -1 \) | | 2 | \( 2(2)^2 - 3 = 8 - 3 = 5 \) | | 3 | \( 2(3)^2 - 3 = 18 - 3 = 15 \) | ### Zeichnung Um die Funktion zu zeichnen, kannst du die Punkte aus der Wertetabelle in ein Koordinatensystem eintragen und die Kurve zeichnen. Die Funktion ist eine Parabel, die nach oben geöffnet ist, da der Koeffizient von \( x^2 \) positiv ist. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \( (0, -3) \). ### Zusammenfassung - Die Wertetabelle zeigt die Werte für verschiedene \( x \)-Werte. - Die Parabel hat ihren tiefsten Punkt (Scheitelpunkt) bei \( (0, -3) \) und öffnet nach oben. Diese Informationen sollten dir helfen, die Funktion zu verstehen und zu zeichnen.

Um die quadratische Funktion \( f(x) = (x - 3)^2 - 4 \) von der Scheitelpunktform in die Normalform umzuformen, folge diesen Schritten: 1. **Entwickle den Ausdruck**: \[ f(x) = (x - 3)^2 - 4 \] Zuer berechnen wir \( (x - 3)^2 \): \[ (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 \] 2. **Setze den Ausdruck in die Funktion ein**: \[ f(x) = x^2 - 6x + 9 - 4 \] 3. **Fasse die konstanten Terme zusammen**: \[ f(x) = x^2 - 6x + 5 \] Die Normalform der Funktion ist also: \[ f(x) = x^2 - 6x + 5 \]

Um die quadratische Funktion \( f(x) = 1(x - 3)^2 - 4 \) von der Scheitelpunktform in die Normalform umzuformen, folge diesen Schritten: 1. **Entwickle den Ausdruck**: \[ f(x) = (x - 3)^2 - 4 \] 2. **Quadr Ergänzung**: \[ (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 \] Setze dies in die Funktion ein: \[ f(x) = x^2 - 6x + 9 - 4 \] 3. **Fasse die konstanten Terme zusammen**: \[ f(x) = x^2 - 6x + 5 \] Die Normalform der Funktion ist somit: \[ f(x) = x^2 - 6x + 5 \]

Die gegebene quadratische Funktion ist \( y = x^2 - 6x - 1 \). Um mehr über diese Funktion zu erfahren, können wir verschiedene Aspekte untersuchen, wie den Scheitelpunkt, die Nullstellen und die allgemeine Form. 1. **Scheitelpunkt**: Der Scheitelpunkt einer Parabel in der Form \( y = ax^2 + bx + c \) kann mit der Formel \( x_s = -\frac{b}{2a} \) gefunden werden. Hier ist \( a = 1 \) und \( b = -6 \). \[ x_s = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \] Um den y-Wert des Scheitelpunkts zu finden, setzen wir \( x_s \) in die Funktion ein: \[ y_s = (3)^2 - 6 \cdot 3 - 1 = 9 - 18 - 1 = -10 \] Der Scheitelpunkt ist also \( (3, -10) \). 2. **Nullstellen**: Um die Nullstellen zu finden, setzen wir \( y = 0 \): \[ 0 = x^2 - 6x - 1 \] Wir verwenden die Mitternachtsformel: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 3 \pm \sqrt{10} \] Die Nullstellen sind also \( x_1 = 3 + \sqrt{10} \) und \( x_2 = 3 - \sqrt{10} \). 3. **Allgemeine Form**: Die Funktion ist bereits in der allgemeinen Form \( y = ax^2 + bx + c \) mit \( a = 1 \), \( b = -6 \) und \( c = -1 \). Zusammenfassend ist die quadratische Funktion \( y = x^2 - 6x - 1 \) eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Scheitelpunkt bei \( (3, -10) \) und zwei Nullstellen bei \( 3 + \sqrt{10} \) und \( 3 - \sqrt{10} \).

Um die Funktion zweiten Grades in der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, die einen Extrempunkt bei \( x = 3 \) hat und durch die Punkte \( A(0, 1) \) und \( B(2, 5) \) verläuft, gehen wir wie folgt vor: 1. **Extrempunkt**: Der Extrempunkt einer Parabel \( f(x) = ax^2 + bx + c \) liegt bei \( x = -\frac{b}{2a} \). Da der Extrempunkt bei \( x = 3 \) liegt, gilt: \[ 3 = -\frac{b}{2a} \implies b = -6a \] 2. **Punkte einsetzen**: Wir setzen die Punkte \( A(0, 1) \) und \( B(2, 5) \) in die Funktion ein. Für Punkt A: \[ f(0) = c = 1 \] Für Punkt B: \[ f(2) = 4a + 2b + c = 5 \] Setzen wir \( c = 1 \) und \( b = -6a \) ein: \[ 4a + 2(-6a) + 1 = 5 \] \[ 4a - 12a + 1 = 5 \] \[ -8a + 1 = 5 \implies -8a = 4 \implies a = -\frac{1}{2} \] 3. **Berechnung von b**: Setzen wir \( a \) in die Gleichung für \( b \) ein: \[ b = -6a = -6 \left(-\frac{1}{2}\right) = 3 \] 4. **Funktion aufstellen**: Jetzt haben wir \( a \), \( b \) und \( c \): \[ a = -\frac{1}{2}, \quad b = 3, \quad c = 1 \] Die Funktion lautet also: \[ f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 3x + 1 \] Zusammenfassend ist die gesuchte Funktion: \[ f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 3x + 1 \]

Um die quadratische Ergänzung für die Funktion \( T(x) = x^2 - 0,5x - 3 \) durchzuführen, folge diesen Schritten: 1. **ifiziere die Koeizienten**: Hier der Koeffizient \( x \) gleich \(-0,5\). 2. **Halbiere den Koeffizienten von \( x \)**: \[ \frac{-0,5}{2} = -0,25 \] 3. **Quadriere das Ergebnis**: \[ (-0,25)^2 = 0,0625 \] 4. **Füge und subtrahiere diesen Wert in der Funktion**: \[ T(x) = x^2 - 0,5x + 0,0625 - 0,0625 - 3 \] 5. **Fasse die quadratische Form zusammen**: \[ T(x) = (x - 0,25)^2 - 3,0625 \] Somit ist die quadratische Ergänzung von \( T(x) \) in der Form: \[ T(x) = (x - 0,25)^2 - 3,0625 \]

Um die quadratische Gleichung \(2x^2 - 16 + 14 = 0\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Vereinfache die Gleichung: \[ 2x^2 - 2 = 0 \] 2. Addiere 2 zu beiden Seiten: \[ 2x^2 = 2 \] 3. Teile beide Seiten durch 2: \[ x^2 = 1 \] 4. Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \[ x = \pm 1 \] Die Lösungen der Gleichung sind also \(x = 1\) und \(x = -1\).

Rein quadratische Gleichungen, also Gleichungen der Form \(ax^2 + bx + c 0\), wurden nicht von einer einzelnen Person erfunden, sondern entwickelten sich über die Zeit durch die Arbeit vieler Mathematiker. Die frühesten bekannten Arbeiten zu quadratischen Gleichungen stammen aus dem antiken Babylonien, etwa 2000 v. Chr. Die Babylonier hatten Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen, die sie in Tontafeln festhielten. Später trugen griechische Mathematiker wie Euklid und Diophantus zur Theorie der quadratischen Gleichungen bei. Im Mittelalter entwickelten islamische Gelehrte wie Al-Chwarizmi systematische Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen, die in seinem Buch "Al-Kitab al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr wal-Muqabala" beschrieben sind. Dieses Werk gilt als eine der wichtigsten Quellen für die Entwicklung der Algebra. Die moderne Form der quadratischen Gleichung und die allgemeine Lösungsformel, die wir heute kennen, wurden im Laufe der Renaissance in Europa weiterentwickelt und formalisiert.

Um die quadratische Gleichung \((x + 2)^2 = 16\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung: \[ x + 2 = \pm 4 \] 2. Löse die beiden möglichen Gleichungen: a) \(x + 2 = 4\) \[ x = 4 - 2 = 2 \] b) \(x + 2 = -4\) \[ x = -4 - 2 = -6 \] 3. Die Lösungen der Gleichung sind: \[ x = 2 \quad \text{und} \quad x = -6 \]

Bei quadratischen Funktionen der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) gibt es maximal zwei Schnittpunkte mit der y-Achse. Diese Schnittpunkte treten auf, wenn \( x = 0 \). Der y-Wert an dieser Stelle ist \( f(0) = c \). Daher gibt es genau einen Schnittpunkt mit der y-Achse, unabhängig von den Werten von \( a \), \( b \) und \( c \).

Die quadratische Gleichung hat die allgemeine Form \( ax^2 + bx + c = 0 \), wobei \( a \), \( b \) und \( c \) Konstanten sind und \( a \neq 0 \). Wenn du nur \( x^2 \) betrachtest, könnte die Gleichung beispielsweise \( x^2 = 0 \) sein, was die Lösung \( x = 0 \) hat. Wenn du eine spezifische quadratische Gleichung im Sinn hast, gib bitte die Werte für \( a \), \( b \) und \( c \) an.

Die quadratische Gleichung, die du angegeben hast, ist \(x^2 + 0 + 0\), was sich vereinfacht zu \(x^2 = 0\). Um diese Gleichung zu lösen, setzt man \(x^2 = 0\). Die Lösung ist: \[ x = 0 \] Das bedeutet, dass die einzige Lösung der Gleichung \(x^2 = 0\) der Wert \(x = 0\) ist.